どうも～むるむるです～
この記事では数値計算によく使われるPythonのライブラリであるnumpyについての基本と，numpyを使ったベクトル・行列の計算を解説していきたいと思います．
機械学習をPythonで実装したいならnumpyはまず間違いなく使うことになります．この記事でしっかりと基礎を抑えてしまいましょう．
numpyの基本
numpyは外部ライブラリですが，Anacondaを使っている方であれば最初からインストールされているはｚなので，インストールをする必要はありません．
インストールする方は．．．
pip install numpy
condaを使う場合:
conda install numpy
では早速numpyを使っていきましょう．numpyを使うにはまず，ライブラリをインポートする必要があります．「np」と略してインポートするのが一般的です．
import numpy as np np.array([1, 2])
上ではnp.array( )関数にリストを渡すことで1次元のベクトルを作りました．クラスがどうなっているか調べてみましょう．
x = np.array([1, 2]) print(type(x)) ''' 出力結果： <class 'numpy.ndarray'> '''
type関数でクラスを確認したところ「numpy.ndarray」クラスであることがわかりました．numpyのndarrayは名前の「n-d array」が示す通り多次元（n dimensional array）のデータを扱うためのクラスです．
数学の用語を使えば，1次元のときベクトル，2次元のとき行列，3次元のときテンソルとなります．
例えば二次元のデータ（行列）は以下のようにして作ることができます．
x = np.array([[1, 2], [3, 4]])
print(x)
print('---')
print(x.shape)
'''
出力結果：
[[1 2]
[3 4]]
---
(2, 2)
'''
「ndarray.shape」とすることで，各次元ごとの要素数を確認することができます．上のコードでは「x」は2×2行列の行列となっています．
numpyでベクトルの計算
要素同士の四則演算
まず手始めにnumpyでベクトルの要素同士の四則演算をしていきましょう．
vec1 = np.array([1,2,3]) vec2 = np.array([4,5,6]) print(vec1 + vec2) print(vec2 - vec1) print(vec1 * vec2) print(vec2 / vec1) ''' 出力結果： [5 7 9] [3 3 3] [ 4 10 18] [4. 2.5 2. ] '''
以上のように，要素数が同じndarray同士に「+, -, *, /」を使うと要素同士の四則演算になります．要素数が違う以下のような場合はエラーが出ます．
vec1 = np.array([1,2,3]) vec2 = np.array([4,5,6,7]) print(vec1 + vec2) print(vec2 - vec1) print(vec1 * vec2) print(vec2 / vec1) ''' エラー '''
ちなみにスカラーとの演算は，すべての要素に対象のスカラーを計算した結果が得られます．
vec1 = np.array([1,2,3]) print(vec1 + 2) print(vec1 - 2) print(vec1 * 2) print(vec1 / 2) ''' 出力結果： [3 4 5] [-1 0 1] [2 4 6] [0.5 1. 1.5] '''
内積とノルム
ベクトルの内積を求めたい場合はnp.dot( )を，ノルムを求めたい場合はnp.linalg.norm( )を使って求めることができます．
vec1 = np.array([1,2,3]) vec2 = np.array([4,5,6]) print(np.dot(vec1, vec2))# 内積 print(np.linalg.norm(vec1, ord=2))# L2ノルム ''' 出力結果： 32 3.7416573867739413 '''
numpyで行列の計算
要素同士の計算，アダマール積
ベクトルの時と同様，同じ次元，同じ要素数の行列の要素同士の計算は以下のようにしてできます．
mat1 = np.array([[1, 2],[3, 4]])
mat2 = np.array([[5, 6], [7, 8]])
print(mat1 + mat2)
print('---')
print(mat2 - mat1)
print('---')
print(mat1 * mat2)
print('---')
print(mat2 / mat1)
'''
出力結果：
[[ 6 8]
[10 12]]
---
[[4 4]
[4 4]]
---
[[ 5 12]
[21 32]]
---
[[5. 3. ]
[2.33333333 2. ]]
'''
ベクトルの要素同士の積にはアダマール積という名前がついています．
スカラーとの四則演算はベクトルの時と同様，すべての要素にスカラーの値が計算されます
mat1 = np.array([[1, 2],[3, 4]])
print(mat1 + 2)
print('---')
print(mat1 - 2)
print('---')
print(mat1 * 2)
print('---')
print(mat1 / 2)
'''
出力結果：
[[3 4]
[5 6]]
---
[[-1 0]
[ 1 2]]
---
[[2 4]
[6 8]]
---
[[0.5 1. ]
[1.5 2. ]]
'''
行列の要素へアクセス
ndarrayの要素を抜き出したいときは[ ]を使って，抜き出す要素を指定できます．要素の番号の数え方はリストなどのときと同様0から数えるので注意が必要です．
[n, m]でn行目m列目の要素へアクセスできます． [:, n]でn番目の列，[n, :]でn番目の行を抜き出すこともできます．また「n:m」とすることで，n番目からm-1番目の要素を抜き出すことができます．
以下の例を見た方がわかりやすいかもしれません．
A = np.array([[1, 2, 3, 4],[5, 6, 7, 8]]) print(A[0, 0])# 0列0行目の要素 print(A[:, 0])# 列0 print(A[0, :])# 行0 print(A[0, 1:3])# 行0の1番目から（3-1）番目の要素を抜き出す ''' 出力結果： 1 [1 5] [1 2 3 4] [2 3] '''
行列の内積
行列の内積もベクトルの時と同様，np.dot( )でできます．
mat1 = np.array([[1, 2],[3, 4]]) mat2 = np.array([[5, 6], [7, 8]]) print(np.dot(mat1, mat2)) ''' 出力結果： [[19 22] [43 50]] '''
逆行列
逆行列はnp.linalg.inv( )を使って計算できます．以下の例では行列「A」とその逆行列「Ainv」の内積を取って単位行列となっているのが確認できます．対角要素は1で非対角要素は数値計算上ぴったり0にはなっていませんが，10 の―16乗とほぼ0に近い数字になっています．
A = np.array([[1, 2],[3, 4]]) Ainv = np.linalg.inv(A) print(np.dot(A, Ainv)) ''' 出力結果： [[1.00000000e+00 1.11022302e-16] [0.00000000e+00 1.00000000e+00]] '''
行列の固有値・固有ベクトル
np.linalg.eig( ) で固有値・固有ベクトルを求めることができます．一つ目のarrayが固有値のリスト．二つ目のarrayが対応する固有ベクトルです．
以下の場合固有ベクトルが「9」と「4」．固有値「9」に対応する固有ベクトルが「0.70710678，0.70710678」で固有値「4」に対応する固有ベクトルが「-0.24253563，0.9701425」となっています．
A = np.array([[8, 1],[4, 5]])
print(np.linalg.eig(A))
'''
出力結果：
(array([9., 4.]),
array([[ 0.70710678, -0.24253563],
[ 0.70710678, 0.9701425 ]]))
'''
行列の転置
行列の転置はndarray.transpose()とやるだけです．
A = np.array([[1, 2],[3, 4]])
At = A.transpose()
print(A)
print('===')
print(At)
'''
出力結果：
[[1 2]
[3 4]]
===
[[1 3]
[2 4]]
'''
確認クイズ
クイズ1
内積と要素同士の積（アダマール積）の違いを以下のコードで確認しましょう．どっちが内積でどっちが要素同士の積ですか？
A = np.array([[1, 1, -1],[-2, 0, 1], [0, 2, 1]]) B = np.array([[0, 1, 2],[-3, -2, 0], [1, 1, 1]]) print(np.dot(A,B)) print(A*B)
クイズ2
以下の行列Aの逆行列，転置を求めてみましょう．
A = np.array([[1, 1, -1],[-2, 0, 1], [0, 2, 1]])
次回
次回は「numpy：よく使う機能まとめ」について学習します．
次の記事はこちら．
機械学習のためにしっかりとPythonを勉強したいなら，ある程度の基礎を身に着けた後に下の本を読むのがお勧めです．この本をこなせば，より高いレベルへ到達できるでしょう．
